Лекция 9. Развитие логики в XIX –XX вв.: метаматематика и теорема Геделя
Пустовит А. В.
В истории логики можно выделить два этапа: первый — от древнегреческой логики до возникновения во второй половине XIX в. современной математической логики. Второй — от второй половины XIX в. до нашего времени. Итак, во второй половине XIX в. в логике происходит научная революция, предпосылки которой возникли еще в XVII в., когда была отчетливо сформулирована идея доказательства как вычисления. Длительное время лучшие умы человечества надеялись на создание всеобъемлющей системы знаний, такой, что все оно будет сведено к конечному и относительно небольшому множеству исходных истин. Эта идея связана, в частности, с именем великого немецкого математика и философа Готфрида Вильгельма Лейбница, одного из создателей математического анализа. Лейбниц мечтал о временах, когда умозаключение будет сведено к вычислению: “Я поневоле натолкнулся на ту замечательную идею, что можно придумать некий алфавит человеческих мыслей и с помощью комбинации букв этого алфавита и анализа слов, из них составленных, все может быть и открыто и разрешено” [Лейбниц Г. В. Сочинения: В 4 т. — М., 1983. — Т. 3. — С. 414]
Итак, согласно Лейбницу, логическое доказательство может быть представлено как “игра со знаками”. Эта “игра” должна осуществляться по простым правилам, напоминающим правила вычисления в математике и принимающим во внимание только внешний вид знаков.
Вычисление суммы или разности чисел осуществляется на основе простых правил. Результат вычисления однозначно определяется этими не допускающими разночтения правилами, и его нельзя оспорить. Лейбниц попытался преобразовать умозаключение в вычисление по строгим правилам. Он верил, что это в конце концов удастся и наступит золотой век, когда с помощью новой логики самые сложные и отвлеченные проблемы будут “вычисляться” так же легко и бесспорно, как в математике вычисляется сумма чисел. Тогда споры, обычные между философами по поводу того, что твердо доказано, а что нет, станут невозможными, как невозможны они между вычислителями. Примерно через два столетия аналогия между математическими и логическими операциями произвела переворот в формальной логике и привела к современному этапу в развитии этой науки — математической логике.
Энергичное развитие логики в рамках второго этапа ее развития связано с использованием в ней математических методов. В трудах Джорджа Буля (1815-1864), Августа де Моргана (1806-1871), Чарлза Сандерса Пирса (1839-1914) постепенно реализовалась идея применения в области логики математических методов. Заключительный шаг в этом направлении математизации логики сделал Готлоб Фреге (1848-1925), которого считают создателем первого формализованного языка, предложенного им в работе “Исчисление понятий, арифметически построенный формализованный язык чистого мышления” (1879). С трудов Фреге начинается использование формальной логики для исследования оснований математики. Фреге был уверен, что “арифметика является частью логики”. Пытаясь свести математику к логике, он реконструировал логику. Логическая теория Фреге — прообраз всех современных теорий правильного рассуждения. Идея сведения математики к логике была развита далее в трудах выдающегося английского логика и философа Бертрана Рассела.
Согласно Фреге, Расселу и их последователям, математика и логика — это два этапа в развитии одной науки. Математика может быть полностью сведена к логике; такой подход к обоснованию математики получил название логицизма. Сторонники логицизма достигли определенных успехов в исследовании основ математики. Было доказано, например, что математический словарь сводится к неожиданно короткому перечню основных понятий, которые принадлежат словарю чистой логики.
Вышеизложенная идея Лейбница — это идея формализации доказательства, сведения его к преобразованию одних последовательностей знаков в другие их последовательности. Строя доказательство, мы иногда опираемся на интуитивную логику и постоянно обращаемся к содержательному значению используемых понятий, их смыслу. Но смысл — трудноуловимая вещь. Нередко он расплывчат и неотчетлив, может истолковываться по-разному и меняться в ходе доказательства. Не удивительно, что даже в математике, оперирующей наиболее точными понятиями, возникают споры по поводу того, доказано какое-то положение или нет.
Чтобы сделать доказательство предельно строгим, нужно свести оперирование смыслами, недоступными наблюдению, к действиям над вещественными, хорошо обозримыми объектами. Для этого требуется выявить все используемые нами принципы интуитивной логики и представить их в виде простых правил преобразования последовательности знаков, записанных на бумаге. Рассуждение превратится при этом в предметные действия над цепочками знаков [Ивин А. А. Логика. – М., 2004, с. 232-233).
Величайший математик начала XX в. Давид Гильберт (1862-1943) предпринял грандиозную попытку формализации математики: он хотел превратить ее в стройную формальную теорию, основанную на аксиомах, из которых по определенным правилам выводились бы теоремы (формулы теории) (программа Гильберта) [Д. Гильберт предполагал начать с формализации арифметики, которая открывала бы пути к формализации более сложных разделов математики и, в конечном счете, человеческого знания вообще]
Математики надеялись, что такой аксиоматический метод построения теории всесилен. При этом огромное значение имеет непротиворечивость системы аксиом (не должно быть такого положения, чтобы можно было доказать и утверждение, и его отрицание; аксиомы не должны противоречить друг другу — противоречие, как было показано, губит содержательную теорию). Примером такой теории может служить геометрия Евклида. Она основана на аксиомах: к настоящему времени доказана непротиворечивость системы аксиом евклидовой геометрии. Также ставится вопрос о полноте системы аксиом: каждое утверждение, которое можно сформулировать на языке некоторой теории, должно быть верным или неверным, должна существовать возможность доказательства или его самого, или его отрицания.
В связи с успехами математической логики в конце XIX и начале XX в. казалось, что идея Лейбница приобретает практические очертания. Однако программа Гильберта оказалась неосуществимой. В 1931 г. молодой австрийский математик Курт Гёдель опубликовал доказательство своей знаменитой теоремы о неполноте, которую можно считать исторической вехой в основаниях математики и в математической логике. Гёдель показал, что требования непротиворечивости и полноты не могут быть выполнены одновременно: всякая достаточно богатая непротиворечивая формальная система непременно неполна — в ней непременно найдутся так называемые неразрешимые, т. е. выразимые на ее языке, но не доказуемые и не опровержимые ее средствами формулы. Итак, если система аксиом, на которой базируется теория, непротиворечива, то теория неполна. Если же система аксиом противоречива, то теория является бессодержательной и не имеет никакой ценности, — любое утверждение в пределах этой теории может быть доказано (из противоречия следует все что угодно).
Теорема Гёделя о неполноте, — один из самых ярких результатов метаматематики (теории доказательства). Ее значение выходит за пределы математики и логики. Подобно принципу дополнительности Бора, она находит применение в самых разных областях культуры, в частности, она доказывает ограниченность аксиоматического метода.
До Гёделя можно было надеяться на то, что мечта Лейбница осуществима — в рамках достаточно богатой системы аксиом можно сформулировать какое угодно утверждение и доказать, что оно верно — или противоположное ему верно. Оказалось, что это невозможно даже в принципе — никакие расширения системы аксиом не могут устранить из теории неразрешимые формулы. Расширяя систему аксиом, можно надеяться решить некий конкретный вопрос — доказать определенную конкретную формулу, но в рамках расширенной системы непременно возникнут новые неразрешимые формулы. В пределах евклидовой геометрии примером такого утверждения, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть, может служить аксиома о параллельных (пятый постулат). Более двух тысячелетий — от античности до XVIII в. — математики пытались доказать это утверждение, основываясь на других аксиомах, но это оказалось невозможным. В XIX в. были построены неевклидовы геометрии. Аксиома параллельности играет в геометрии фундаментальную роль, определяя ее разделение на две логически непротиворечивые и взаимно исключающие друг друга системы: евклидову и неевклидову геометрии.
Итак, теории, построенные с применением аксиоматического метода, в конечном счете основаны на вере: и аксиомы геометрии, и догматы христианства принимают без доказательства. Разница, однако, состоит в том, что система аксиом геометрии непротиворечива, и, основываясь на этих аксиомах, можно доказывать теоремы. Догматы же христианства изначально противоречивы (антиномичны) (вспомните то, что было сказано в Лекции 8 о разделении всей человеческой культуры на две обширные области в зависимости от того, избегают ли противоречия или воплощают его).
Вот что пишет о теореме Гёделя В. Налимов: “Основываясь на теореме Гёделя, можно сделать ряд выводов… гносеологического характера. Прежде всего из этой теоремы следует, что нельзя дать формализованного определения понятию доказательства в математике. В процессе развития математики появляются новые, ранее не предусмотренные приемы доказательства. Далее… утверждение о невозмож ности построения думающих машин, поскольку программы, задаваемые ЭВМ, всегда строятся на строгой логике....Из результатов Гёделя следует, что обычно используемые непротиворечивые логические системы, на языке которых выражается арифметика, неполны. Существуют истинные утверждения, выразимые на языке этих систем, которые в таких системах доказать нельзя… Из этих результатов следует также, что никакое строго фиксированное расширение аксиом этой системы не может сделать ее полной, — всегда найдутся новые истины, не выразимые ее средствами… Общий вывод из теоремы Гёделя — вывод, имеющий громадное философское значение: мышление человека богаче его дедуктивных форм.
[Дедукция — это выведение частного из общего по законам логики. Если посылки рас-суждения истинны, то дедукция с достоверностью приводит к истинным выводам. Один из современных исследователей, физик и теолог Дж. Полкинхорн высказывается очень определенно: “Суть сознания в интуиции, а не в логике. Компьютер может выполнять невероятно сложные логические операции, но если бы мы были уверены, что он обладает сознанием, то чувствовали бы этически неприемлемым его выключить” (Полкинхорн Дж. Вера глазами физика. — М., 1998. — С. 19)]
Мы не знаем, в чем в действительности состоит “процедура” мышления человека. Но мы хорошо знаем, что на уровне коммуникации при общении друг с другом люди широко используют формальную логику. В нашей повседневной речи, не говоря уж о языке науки, мы легко можем проследить логическую структуру. И здесь немедленно возникает вопрос: в чем же тайна нашего языка? Почему логическая форма коммуникации не подавляет каких-то, может быть, и не понятых нами, но, несомненно, значительно более богатых форм мышления человека? Дедуктивная логика — это в большей степени средство коммуникации, чем средство мышления. Задача логики — развитие тех идей, которые в сжатом и потому не вполне понятном виде уже содержатся в исходных посылках. Это особенно хорошо проявляется в языке математики, где дедуктивная структура построения суждений легче всего прослеживается. Здесь нам хочется привести высказывание известного французского физика Луи де Бройля:
“В силу своей строгой дедуктивности математический язык позволяет детально описать уже полученные интеллектуальные ценности; но он не позволяет получить что-либо новое. Итак, не чистые дедукции, а смелые индукции и оригинальные представления являются источником великого прогресса в науке”.
Как преодолевается гёделевская трудность в нашем языке?
Концепция полиморфизма является ответом на эти вопросы. Нечеткие и неотчетливые по своему смыслу слова с неровными краями областей их значений, неясность разграничительных линий между понятиями, их многообразие и пестрота — все это создает возможность для нарушения строго дедуктивных форм мышления, при этом такое нарушение происходит в вежливой форме, не вызывающей раздражения у собеседника. Рассуждения человека должны быть, с одной стороны, достаточно логичными, т. е. они должны базироваться на дедуктивной логике, с другой стороны, они должны быть построены так, чтобы допускались логические переходы типа индуктивных выводов и правдоподобных заключений, не укладывающихся в строгую логику системы постулатов и правил вывода (иначе система будет тавтологической). Полиморфизм языка — это один из способов допущения “нестрогости” логики при “внешнем” сохранении видимости дедуктивной строгости: он позволяет вводить в нашу систему суждений ту “рассогласованность”, без которой она была бы неполна. Последнее относится даже к высказываниям на языке математики — напомним здесь еще раз утверждение, вытекающее из теоремы Гёделя: “Если (формальная) арифметика непротиворечива, то она неполна”. Вероятно, та же мысль образно выражена в словах: “четкость и чрезмерная строгость языка ведет к интеллектуальным судорогам”. Полиморфизм языка позволяет сделать нашу систему коммуникаций негёделевской.
И в то же время мы понимаем, что внутренняя рассогласованность суждений, создаваемая полиморфизмом языка, не должна заходить слишком далеко, иначе возникнет ситуация психиатрической больницы. Граница допустимой нестрогости устанавливается как-то сама собой… Элемент случайности входит в наше речевое поведение, на-кладываясь на логическую структуру” [Налимов В. В. Вероятностная модель языка. – М., 1979].
Недостаточность логики в обыденном языке восполняется использованием метафор. Логичность и метафоричность текста это два дополняющих (в том смысле, который вкладывает в этот термин Бор) друг друга его проявления.